Determine os possíveis valores da constante para que a função seja solução da equação , no intervalo .
Passo 1
Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas
1. A função dada está bem definida no intervalo?
2. Se eu substituir a expressão da no da equação, a igualdade é satisfeita?
Passo 2
Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.
Vamos separar em alguns casos de .
1. Caso :
Nesse caso a gente tem que
Então precisamos garantir que o denominador não é zero. Isso não ocorre, porque no intervalo temo que .
2. Caso
Nesse caso vamos ter raiz com índice par, por exemplo
Temos que garantir que nesses casos, não há valores negativos. De novo como em só temos valores positivos para , o argumento dentro da raiz é sempre positivo e não tem problema.
3. Outros valores de
Os outros valores de geram polinômios quaisquer que são sempre bem definidos.
Em todos os casos a nossa função está bem definida!
Passo 3
Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar onde tem e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se
Vamos derivar a expressão de :
Agora vamos juntar tudo
Show, agora vamos forçar esse resultado a ser igual a 0 para satisfazer a igualdade!
Como , então temos que
Resolvendo essa equação do segundo grau, temos que
Então para todos os valores reais a função está definida, mas apenas para esses dois valores de temos a igualdade mantida!