UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 3b.
Problema 3 - Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada.
(b) ;
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão, temos uma EDO dada por e uma possível solução que é definida por partes. No caso, quando , assume um valor e quando , assume outro valor. Veja só
Dizemos que é uma possível solução pois nossa tarefa é verificar se essa é mesmo a solução da EDO.
Como podemos fazer isso?? 👀
Podemos substituir e suas derivadas na EDO e verificar se a igualdade da equação é satisfeita, o que acha? 🤔
Bora começar!
Passo 2
Analisando a EDO vemos que a equação possui e , ou seja, antes de aplicar as substituições na EDO, temos que derivar para obter .
Se é dado por
Então a derivada de é dada por
A derivada de uma constante é , então
Já a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial, ou seja
Substituindo os resultados em , temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora se a solução satisfaz a EDO, a igualdade deve ser satisfeita para e para .
Para , e são iguais a , substituindo na EDO, temos
Vamos que para a igualdade é satisfeita!
Agora vamos ver para onde e
Simplificando o resultado, temos
Vemos que a igualdade foi satisfeita, então para a solução satisfaz a EDO também.
Portanto, é solução da EDO! 😁
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
É solução.