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Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

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Enunciado

Sabe-se que y = c 1 e x + c 2 e - x é uma família de soluções para y " - y = 0 no intervalo ( - ∞ , + ∞ ) . Encontre um membro dessa família satisfazendo as condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 .

Passo 1

Trata-se de um problema de valor inicial, pois temos informações do tipo:

y x 0 = y 0

y ' x 0 = y 1

Como o problema já afirma que y = c 1 e x + c 2 e - x é solução, não precisamos provar que y é solução.

Portanto, vamos começar encontrando a primeira derivada de y .

y = c 1 e x + c 2 e - x

y ' = c 1 e x - c 2 e - x

Passo 2

Agora, vamos utilizar as informações fornecidas no enunciado para encontrar o valor das constantes. Temos:

y 0 = 0

Então substituindo:

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = 0

y 0 = c 1 + c 2 = 0

Isso nos dá que:

→ c 1 = - c 2

Agora pra outra condição que o problema deu:

y ' ( 0 ) = 1

y ' 0 = c 1 e 0 - c 2 e 0 = 1

y ' 0 = c 1 - c 2 = 1

Então temos que:

→ c 1 = 1 + c 2

Como vimos que c 1 = - c 2 :

- c 2 = 1 + c 2

c 2 = - 1 2

Logo:

c 1 = 1 2

Passo 3

Por fim, basta substituir os valor de c 1 e c 2 na equação:

y = c 1 e x + c 2 e - x

Fica assim:

y = 1 2 e x - 1 2 e - x

Agora vamos voltar pra testar?! Lá no nosso enunciado tínhamos:

y " - y = 0

Conhecemos o y , agora vamos calcular a sua derivada segunda:

y ' ' = 1 2 e x - 1 2 e - x  

Substituindo:

1 2 e x - 1 2 e - x   - 1 2 e x - 1 2 e - x = 0

Prontinho!

Resposta

y = 1 2 e x - 1 2 e - x

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