UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2x.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(x) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
No enunciado da questão, foi dado uma EDO e um valor para .
O que temos que fazer é verificar se é solução da EDO ou não.
Entendi, mas como fazemos isso?
Veja só! Se é a solução, ele deve satisfazer a equação, não é?
Ou seja, se substituirmos e suas derivadas na EDO e a igualdade da equação for satisfeita, significa que é solução da EDO, mas se a igualdade não for satisfeita, é porque não é solução da EDO.
A ideia é essa! Bora começar? 😁😁
Passo 2
Vamos dar uma olhada na EDO que nos deram
Podemos ver que precisamos calcular e para fazer a substituição, ou seja, obter a primeira e a segunda derivada de .
Derivando pela primeira vez, temos
Essa derivada é obtida por um misto entre a regra da cadeia e a regra do produto. Veja só, aplicando a regra do produto em
Já para a derivada de temos que aplicar a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora).
Substituindo em
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é igual a e a derivada de é igual a . Já a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial
Simplificando o resultado e substituindo por de volta
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora temos que derivar o resultado que encontramos para obter a segunda derivada de
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos
Ambas as derivadas são obtidas pela regra da cadeia, mas perceba que a derivada de já foi calculada no item anterior.
Porém a derivada de não foi calculada
Já vimos que a derivada de é igual a e pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é igual a , ou seja
Substituindo por de volta
Substituindo esse resultado e o resultado da derivada de que calculamos anteriormente, temos
Bacana, não é? 😎
Passo 4
Agora substituímos , e na EDO e vemos se a igualdade é satisfeita
Simplificando a equação
Repara que os se anulam e os também.
Logo é solução da EDO!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
É solução.