Verifique se a função é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada
Passo 1
Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas
1. A função dada está bem definida no intervalo?
2. Se eu substituir a expressão da no da equação, a igualdade é satisfeita?
Passo 2
Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.
A função exponencial, , deixa eu assumir qualquer valor para , então ela não é um problema.
Muita calma nessa hora, você pode acabar indo muito rápido e dizer que pela mesma razão, não tem problema. Mas, se liga numa coisa
Então temos que ver se não tem denominador dando zero! Por sorte a exponencial nunca dá 0, então não tem treta nenhum no denominador.
A nossa função está bem definida!
Passo 3
Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar onde tem e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se
Vamos trabalhar a segunda derivada primeiro. Bora derivar a função que ele deu pra gente
Agora, precisamos derivar a expressão acima novamente
Show, agora repara que essa expressão de é a mesma expressão que , então temos a igualdade que queríamos!
Resposta
É solução!