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Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

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Enunciado

UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2n.

Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e c 2 são constantes).

(n) d P d t = P a - b P ;   P = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos uma EDO um pouco diferente, onde normalmente é y , agora vamos chara de P .

Além da EDO, foi dada uma possível solução para ela, dada por P .

Com isso, o intuito é verificar se essa solução P satisfaz a EDO ou não.

Ok, mas como podemos fazer essa verificação?? 🤔

A primeira coisa que podemos pensar é substituir P e suas derivadas na EDO e se a equação for satisfeita, é porque a solução P dada é realmente solução da EDO.

Mas se fizermos as substituições e a equação não for satisfeita, é porque P não é solução da EDO.

Entendeu? Podemos começar nosso probleminha! 😁

Passo 2

Primeiro vamos analisar a EDO

d P d t = P a - b P

Vemos que a maior derivada de P é de primeira ordem, ou seja, temos que derivar P uma vez antes de substituir na equação.

Derivando P , temos

d P d t = d a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t d t

Perceba que essa derivada é obtida pela regra do quociente, lembra dela?

d P d t = d a c 1 e a t d t · 1 + b c 1 e a t - a c 1 e a t · d 1 + b c 1 e a t d t 1 + b c 1 e a t 2

Pela regra da cadeia, temos que a derivada de a c 1 e a t é dada pela derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, ou seja

d a c 1 e a t d t = a c 1 d a t d t · d e u d u

Da mesma forma, a derivada de 1 + b c 1 e a t pode ser escrita como

d 1 + b c 1 e a t d t = d 1 d t + b c 1 d a t d t · d e u d u

Substituindo em d P d t , temos

d P d t = a c 1 d a t d t · d e u d u · 1 + b c 1 e a t - a c 1 e a t · d 1 d t + b c 1 d a t d t · d e u d u 1 + b c 1 e a t 2

Ou pouco grandinho, não é?

Mas relaxa, vamos por partes. 😉

Passo 3

Vamos calcular cada derivada separadamente e juntar tudo depois

Primeiro a derivada de a t com relação a t , pelo método de derivação polinomial, temos que

d a t d t = a t 1 - 1 = a

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a derivada de e u é a própria e u , logo

d e u d u = e u

Por último, sabemos que a derivada de uma constante é 0 , então

d 1 d t = 0

Substituindo na derivada de P , temos

d P d t = a c 1 a · e u · 1 + b c 1 e a t - a c 1 e a t · 0 + b c 1 a · e u 1 + b c 1 e a t 2

Substituindo u por a t de volta

d P d t = a c 1 a · e a t · 1 + b c 1 e a t - a c 1 e a t · b c 1 a · e a t 1 + b c 1 e a t 2

Simplificando a equação, temos

d P d t = a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t - a 2 b c 1 2 e a t e a t 1 + b c 1 e a t 2

d P d t = a 2 c 1 e a t + a 2 b c 1 2 e a t e a t - a 2 b c 1 2 e a t e a t 1 + b c 1 e a t 2

Podemos cortar a 2 b c 1 2 e a t e a t já que ele aparece somando e subtraindo, portanto

d P d t = a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 4

Substituindo os valores que temos na equação, vamos ter o seguinte:

a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2 = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t a - b a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t

Multiplicando a por 1 + b c 1 e a t no numerador e no denominador, temos

a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2 = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t a 1 + b c 1 e a t 1 + b c 1 e a t - a b c 1 e a t 1 + b c 1 e a t

a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2 = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t a + a b c 1 e a t 1 + b c 1 e a t - a b c 1 e a t 1 + b c 1 e a t

Colocando tudo no mesmo denominador, vamos ter

a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2 = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t a + a b c 1 e a t - a b c 1 e a t 1 + b c 1 e a t

Podemos cortar a b c 1 e a t já que ele aparece somando e subtraindo

a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2 = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t a 1 + b c 1 e a t

Calculando o produto, chegamos em

a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2 = a 2 c 1 e a t 1 + b c 1 e a t 2

Incrível, não é? A igualdade foi satisfeita, portanto, P é solução da EDO!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

P é solução da EDO.

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