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Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

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Enunciado

Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = 2 + x + x 2 ,     I = 0 , ∞ ,     d y d x = 1 + 2 x 2 y

Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

Nesse caso a gente só está trabalhando com número positivo porque

x ∈ 0 , ∞

Então o polinômio que está dentro da raiz é uma soma de números positivos. Portanto, a função está bem definida no intervalo que ele deu.

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

d f d x = 1 + 2 x 2 f

Vamos trabalhar o lado esquerdo da igualdade primeiro. Bora derivar a função f que ele deu pra gente

d f d x = d d x 2 + x + x 2 = d d x 2 + x + x 2 1 2

Agora, está tranquilo porque temos que derivar um polinômio e isso a gente sabe como faz. Só não esquece da regra da cadeia!

d f d x = 1 2 2 + x + x 2 - 1 2 . 2 + x + x 2 ' = 1 2 2 + x + x 2 - 1 2 . 1 + 2 x  

d f d x = 1 + 2 x 2 2 + x + x 2

Agora vamos ver o lado direito:

1 + 2 x 2 f = 1 + 2 x 2 2 + x + x 2

Passo 4

Como a gente manteve a igualdade está tudo certo! Então a função f é sim solução da equação dada.

Resposta

É solução!

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