UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2q.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(q) .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão, temos uma EDO dada por e uma possível solução .
Com essas informações, temos que verificar se essa solução dada realmente é solução da EDO se não é.
Alguma ideia do que fazemos pra fazer essa verificação?? 🤔
De maneira mais direta, temos que substituir a solução na EDO e ver se a igualdade da equação é satisfeita.
Caso a igualdade for satisfeita e solução é solução da nossa EDO. Mas se caso a solução não seja satisfeita, a solução dada não é solução da EDO.
Antes, vamos manipular nossa EDO para que fique mais fácil de visualizar o que precisamos fazer
Passando para o outro lado com o sinal trocado, temos
Passando dividindo o lado esquerdo e dividindo o lado direito
Agora ficou mais de compreender essa equação, não é? 👀
Passo 2
Agora vamos olhar para a solução dada
Isolando em um lado
Mas aí podemos pensar: “como vamos substituir isso na EDO se não conseguimos isolar ?”
Essa é uma boa pergunta, mas olha só
Foi dito que a derivada de com relação a é igual a .
Podemos derivar implicitamente e verificar se os resultados são iguais.
Entendeu? 😉
No caso, podemos desconsiderar pois ele é uma constante arbitrária e a derivada de uma constante é , logo não vai influenciar nos nossos cálculos.
A derivação implícita de com relação a é dada por
Gigante, não é? Relaxa, vamos aos poucos.
Calculando a derivada com relação a primeiro
Como nossa função é uma fração, vamos aplicar a regra do quociente, lembra dela?
Para a derivada de , vamos aplicar a regra do produto e da cadeia ao mesmo tempo. Veja só
Fazendo ser igual a na derivada de fora de
Está acompanhando? 😁
Passo 3
Ainda temos que fazer mais uma simplificação. No caso, a derivada de pode ser obtida pela regra da cadeia fazendo
Substituindo em
As derivadas de , e são obtidas pelo método de derivação polinomial.
Já as derivadas de e , pelo teorema fundamental do cálculo, são e , respectivamente
Simplificando e substituindo por e por de volta, temos
Podemos colocar em evidencia no numerador e cortar com a potência do denominador
Prontinho, temos a derivada parcial da solução com relação a , agora vamos calcular com relação a .
Bora lá?
Passo 4
Da mesma forma, vamos aplicar a rega do quociente.
Dessa vez, na derivada de e de , vamos aplicar apenas a regra da cadeia.
Substituindo em
A derivada de são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo como já vimos anteriormente.
Já as outras derivadas são obtidas pelo método de derivação polinomial.
Substituindo por e por de volta, temos
Colocando em evidencia para simplificar com o denominador e simplificando
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 5
Agora vamos substituir os resultados que obtemos em
Podemos cortar já que é o denominador de ambos os resultados
Colocando em evidência, temos
Perceba que podemos simplificar cortando
Substituindo na EDO, temos
Um pouco diferente, não é?
Com isso vemos que a solução dada NÃO satisfaz a EDO!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
A solução não satisfaz a EDO.