UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2c.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(c) .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa querida questão, foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO.
O que temos que fazer é verificar se a solução que nos deram satisfaz a EDO.
Tem ideia de como fazemos isso?? 🤔🤔
A EDO que nos deram é e a suposta solução para essa EDO é .
Uma maneira mais direta de se obter a resposta que procuramos, é derivar de modo que possamos substituir o resultado na EDO e verificar se a igualdade é satisfeita!
Outra maneira é obter a solução da EDO por meio de algum método e verificar se é possível escrever a solução de forma que seja igual a .
Parece difícil? Bora ver como é na pratica! 😁
Passo 2
Nossa EDO é dada por , ou seja, temos uma EDO linear de ordem 1.
Como nossa EDO é de ordem 1, a maior ordem de derivada é a primeira, ou seja, vamos precisar derivar apenas uma vez.
Derivando , temos
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos
Ambas as derivadas serão obtidas pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora).
Derivando , temos
Sabemos que a derivada de é igual a , logo
Substituindo por , temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora para a derivada de , temos
Calculando as derivadas chegamos em
Substituindo por e simplificando a resposta, temos
Substituindo os resultados em
Substituindo na EDO, vamos verificar se essa solução satisfaz nossa EDO
Simplificando a equação, temos
Com isso, vemos que SIM! A solução satisfaz a EDO!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
A solução satisfaz a EDO