UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2u.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(u) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, temos uma EDO e uma possível solução para essa EDO.
Dizemos que é uma possível solução pois quem vai confirmar essa informação sou eu e você. Ou seja, temos que verificar a veracidade dessa solução nessa EDO. 😎
Ok, mas tem ideia de como podemos fazer isso?? 🤔🤔
O que você acha de a gente substituir e suas derivadas na EDO e verificar se a igualdade da equação é satisfeita?
Caso a igualdade seja satisfeita, a solução é verídica, mas se caso a igualdade não for satisfeita, a solução não é verídica para essa EDO. 😉
Entendeu? Bora ver como é na prática! 😎
Passo 2
Primeiro temos que analisar a EDO e ver o que vamos precisar pra fazer nossa substituição.
Vemos que precisamos de uma derivada de segunda ordem de para substituir em .
Em , vamos usar duas funções que não costumamos usar sempre, no caso e
O seno-hiperbólico e o cosseno-hiperbólico possuem propriedades semelhantes à cosseno e seno.
Vamos derivar pela primeira vez
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos
Aqui começamos a diferenciar as funções trigonométricas hiperbólicas.
Pelo teorema fundamental do cálculo a derivada de é igual a e a derivada de é igual a . Ou seja
Substituindo em
Entendeu até aqui? 👀
Passo 3
Agora para obter vamos derivar que acabamos de obter
Desmembrando as derivadas
Como acabamos de ver as derivadas de e são
Substituindo em
Agora sim conseguimos tudo que precisamos para fazer as substituições na EDO.
Podemos ver que realmente a igualdade foi satisfeita, logo é SIM solução da nossa EDO!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
é solução da EDO.