UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2s.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(s) .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão, foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO.
Nosso objetivo é verificar se essa solução realmente é a solução da EDO ou não.
Mas tem ideia do que fazemos para verificar isso?? 🤔🤔
De maneira direta, podemos substituir e suas derivadas na EDO e ver se a igualdade da equação é satisfeita.
Caso a igualdade seja satisfeita, significa que realmente é solução da EDO, mas se a equação não for satisfeita significa que não é solução da EDO.
👍👍
Entendeu? Bora por na prática! 😉😉
Passo 2
Vamos dar uma olhada na EDO e ver quais os dados devemos obter para fazer as substituições.
A EDO é dada por
Ou seja, uma EDO de segunda ordem. Logo, temos que obter a primeira e a segunda derivada de antes de substituir na EDO.
Perceba que temos um em , ou seja, esse termo pode assumir tanto o sinal positivo quanto o sinal negativo.
Derivando , temos
Essa derivada é obtida a partir da regra do produto misturado com a regra da cadeia já que é o produto entre as funções e , que são funções compostas. Ou seja
Aplicando a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) em fazendo e em fazendo
Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que as derivadas de e são e , respectivamente.
Já as derivadas de e são obtidas pelo método de derivação polinomial, veja só
Simplificando e organizando o resultado e substituindo por e por , temos
Assim, obtemos a primeira derivada de .
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora vamos derivar o resultado de para obter
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos
Já sabemos qual é a derivada de , então podemos substituir direto.
Já a derivada de é obtida da mesma forma que calculamos a derivada de , porém agora no lugar do cosseno, usamos o seno.
Já calculamos todas essas derivadas anteriormente, porém ainda não calculamos o .
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é igual a , ou seja
Simplificando e fazendo as substituições.
Substituindo essa derivada em e aplicando a derivada de que já calculamos anteriormente
Simplificando o resultado, temos
Agora acabamos de calcular .
Entendeu essa parte? 😉
Passo 4
Aplicando , e na EDO, considerando o sinal positivo de , temos
Simplificando a equação
Juntando os termos semelhantes
Poxa, a igualdade não foi satisfeita, logo, a solução não satisfaz a EDO.
Mas, e para o sinal negativo de , será que faz diferença?
Substituindo , e na EDO considerando
Organizando a equação
Juntando os termos semelhantes
Nesse caso, chegamos à conclusão que
A igualdade foi satisfeita, portanto para negativo na EDO, é a solução da EDO!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
Se a EDO for , não satisfaz a EDO.
Se a EDO for , satisfaz a EDO.