UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 6a.
Problema 6 - Encontre valores de para que seja uma solução para cada equação diferencial.
(a)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão, temos uma EDO dada por e uma solução dada por onde é um valor que temos que determinar de modo que a solução satisfaça a EDO.
Esse é o nosso objetivo!
Mas tem ideia de como fazer isso?? 🤔🤔
O que podemos fazer é analisar a EDO e substituir e as derivadas necessárias na equação forçando a igualdade a ser satisfeita.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
A EDO é dada por , ou seja, temos que obter e antes de aplicar as substituições na equação.
Derivando , vamos obter
Aplicando a regra da cadeia fazendo a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora e substituindo pou na derivada de fora, temos
A derivada de é obtida pelo método da derivação polinomial, já a derivada de , pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que é igual a
Substituindo por de volta, temos
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora vamos obter a derivada derivando
Como é uma constante, podemos reescrever a derivada como
Mas acabamos de obter a derivada de , não foi? Então podemos apenas substituir o resultado
Entendeu essa parte? 🤩
Passo 4
Agora o que vamos fazer é substituir , e na equação e forçar a igualdade para obter , veja só!
Colocando em evidência no lado esquerdo, temos
Dividindo os dois lados da equação por
Assim, vamos obter por Bhaskara.
Assim, temos dois valores para
Dessa forma, nossa solução pode assumir dois valores
ou
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
