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Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

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Enunciado

Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = e x 2 + e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t     I = R ,     y ' - 2 x y = 1

Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

A função exponencial, e x 2 , deixa eu assumir qualquer valor para x , então ela não é um problema. Agora e a integral alí?

Então se a função a ser integrada for contínua está tudo certo, porque sempre podemos calcular integrais de funções contínuas! Pra nossa sorte a exponencial, e - t 2 , é uma função contínua, então a integral também não será problema.

A nossa função está bem definida!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

f ' - 2 x f = 1

Vamos trabalhar a derivada primeiro. Bora derivar a função f que ele deu pra gente

f ' = e x 2 + e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t ' = e x 2 ' + e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t ' = 2 x e x 2 + e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t '

Agora, precisamos lembrar como deriva aquele termo em parênteses. Vamos usar a regra do produto aqui

e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t ' = e x 2 ' ∫ 0 x e - t 2 d t + e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t ' = 2 x e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t + e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t '

Agora precisamos lembrar como deriva a integral! A gente usa o teorema fundamental do cálculo. Então, vamos ter que

e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t ' = 2 x e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t + e x 2 e - x 2 = 2 x e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t + e x 2 - x 2 = 2 x e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t + 1

Então, temos que

f ' = 2 x e x 2 + 2 x e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t + 1

Agora vamos ver o termo - 2 x f :

- 2 x f = - 2 x e x 2 + e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t = - 2 x e x 2 - 2 x e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t

Agora bora juntar os resultados e ver se a gente obtém 1!

f ' - 2 x f → 2 x e x 2 + 2 x e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t + 1 + - 2 x e x 2 - 2 x e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t → 1

Como obtemos 1, a igualdade está mantida e está tudo certo.

Resposta

É solução!

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