UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2p.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(p) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Temos uma questãozinha de introdução a EDO’s em que foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO.
Nosso objetivo é comprovar que essa solução é a solução da EDO ou que a solução não satisfaz a EDO.
Ok, mas como fazemos essa verificação?? 🤔
Temos uma maneira bem direta de se obter esse resultado, no caso vamos substituir e suas derivadas na EDO.
Dessa forma, verificamos se a igualdade é satisfeita. Se for a solução é solução da EDO, se não for, a solução não é solução da EDO.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Analisando nossa EDO temos dada por
Vemos que se trata de uma EDO linear de primeira ordem, ou seja, por ser de primeira ordem, a maior derivada que temos é a derivada de ordem , logo vamos derivar a solução apenas uma vez.
Mas antes, vamos dar uma olhada na solução que nos deram.
Podemos perceber que temos uma integral que não sabemos calcular, portanto, vamos fazer o seguinte: vamos chamar essa integral de
Aplicando os limites de integração, temos
Até aqui só aplicamos o teorema fundamental do cálculo.
Então, vamos fazer essa substituição em
Veja só
Sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas, logo
Primeiro vamos obter a derivada de aplicando um misto entre regra da cadeia e regra do produto.
No caso, a regra da cadeia entra na derivada de . Substituindo por , temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Sabemos que a derivada de é igual a ele mesmo e a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial.
Organizando o resultado substituindo por , temos
E oque é ? é a integral de , a derivada é a operação inversa da integral, logo a derivada de é a função . Ou seja, como fizemos a substituição por no lugar de , temos
Por fim, a derivada de é
Agora vamos calcular a derivada de .
Você concorda que é uma constante? Então para obter essa derivada, vamos aplicar apenas a regra da cadeia em .
Já fizemos esse calculo na derivada anterior, lembra?
Pelo método de derivação polinomial e como a derivada de
Substituindo por e organizando o resultado, temos
Interessante, não é? 😉
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada de .
Esse caso vai ser muito parecido com a derivada anterior, temos uma constante multiplicando .
Como acabamos de fazer essas contatas, podemos substituir direto
Substituindo todos esses resultados em , temos
Substituindo e na EDO, vemos que
Como vimos que , logo
Organizando essa equação, temos
Perceba que , e aparecem somando e subtraindo no lado esquerdo da equação, então podemos corta-los
Com isso, vimos que a igualdade foi satisfeita, logo é SIM solução da EDO!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
É solução da EDO.