UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 6b.
Problema 6 - Encontre valores de para que seja uma solução para cada equação diferencial.
(b)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Para essa questão, temos uma EDO dada por e também temos uma solução dada por onde é uma constante, porém temos que obter os valores de que fazem ser solução da EDO.
Entendeu o que temos que fazer?? 🤔
No caso, vamos substituir e suas derivadas na equação e obter os valores de que fazem a igualdade ser satisfeita.
Bora ver como é isso! 😁
Passo 2
Analisando a EDO dada por , percebemos que temos que obter e antes de iniciar as substituições.
Se derivarmos , vamos obter
Pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) e substituindo por na derivada de fora, temos
A derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial, já a derivada de é a própria pelo teorema fundamental do cálculo, ou seja
Substituindo por de volta
Com isso obtemos a primeira derivada de .
Entendeu essa parte? 👀
Passo 3
Agora para obter a segunda derivada de , vamos derivar
Reescrevendo a derivada como
Percebemos que podemos obter essa derivada olhando para o passo anterior onde calculamos a derivada de .
Substituindo o resultado, vamos obter
E assim, obtemos a segunda e a última derivada antes de começarmos a substituir na EDO.
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 4
Por fim, substituímos , e na EDO
Colocando em evidência, temos
Podemos simplificar a equação dividindo os dois lados por
Assim vamos obter aplicando Bhaskara
Dessa forma, deve ser
Logo a solução deve ser
Ou seja, para ser solução da EDO, deve ser igual a .
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁