Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c₁ e c₂ são constantes).

(i) x^2 dy + 2xy dx = 0; y = -1 / x^2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Pode não parecer, mas nessa questão, temos uma EDO camuflada e uma possível solução para essa EDO.

A ideia é verificar se essa possível solução dada no enunciado satisfaz nossa EDO ou não.

A ideia parece simples? Então como fazemos pra fazer essa verificação?? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é identificar nossa EDO. Pra isso temos que organizar um pouquinho nossa equação x 2 d y + 2 x y d x = 0

Vamos passar o 2 x y d x para o outro lado

x 2 d y = - 2 x y d x

Agora passamos o d x dividindo o lado esquerdo e o x 2 dividindo o lado direito

d y d x = - 2 x y x 2

Simplificando a EDO, temos

d y d x = - 2 y x

Pronto, agora substituímos y e suas derivadas na EDO e verificamos se a equação é satisfeita.

Bora lá! 😁

Passo 2

A suposta solução dada no enunciado é

y = - 1 x 2

Podemos reescreve-la como

y = - x - 2

Analisando a EDO, vemos que a maior derivada de y é de primeira ordem, ou seja, temos que derivar y apenas uma vez

d y d x = d - x - 2 d x

Pelo método da derivação polinomial, temos

d y d x = - - 2 x - 2 - 1 = 2 x - 3

Ou também podemos escrever y ' como

d y d x = 2 x 3

Substituindo y ' e y na EDO, temos

d y d x = - 2 y x

2 x 3 = - 2 - 1 x 2 x

Calculando a fração do lado direito e simplificando 2 - 1 x 2

2 x 3 = - - 2 x 2 x 1

Pelo método dos meios pelos extremos

2 x 3 = 2 x 3

Com isso, vemos que a equação é satisfeita, portanto y é solução da nossa EDO!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y é solução da EDO

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