UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2k.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(k) .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Temos algo bastante interessante nessa questão! Foi dada uma equação e um valor para .
No caso, essa equação é uma EDO e é a suposta solução dessa EDO.
O que temos que fazer é verificar se essa solução satisfaz a EDO ou não.
Tem ideia de como podemos fazer isso?? 👀
Podemos usar uma abordagem mais direta, podemos obter as derivadas necessárias de para assim substituir na EDO.
Com isso, verificamos a igualdade da equação, se for satisfeita, a solução é verídica, se não for, não é solução para essa EDO.
Entendeu? Bora aplicar essa ideia! 😁
Passo 2
Primeiro vamos analisar a EDO .
Vemos que a maior derivada é de ordem , logo temos que derivar a solução apenas uma vez antes de substituir na equação.
Vamos manipular a solução dada no enunciado pra obter
Tirando a raiz dos dois lados para eliminar a potência de
Agora podemos partir para a derivada!
Como é uma função composta, vamos aplicar a regra da cadeia, lembra? (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, substituindo a função de dentro por uma variável na derivada de fora)
Pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo pela função de dentro de volta
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora que já obtemos a derivada de , vamos substitui-la na EDO junto com
Enorme, não é? Mas relaxa, vamos com calma!
Simplificando o do primeiro termo do lado direito da equação, temos
Resolvendo a potência do último termo
Ta ficando muito grande isso aqui, não é? Vamos substituir por pra facilitar nas nossas manipulações
Calculando a distributiva de
Sabemos que , logo simplificando a equação
Está acompanhando? 🤔
Passo 4
Vamos deixar tudo no mesmo denominador, veja só
Dessa forma, temos
Voltando para
Colocando em evidência, temos
Não conseguimos fazer com que a igualdade fosse satisfeita, ou seja, nossa suposta solução não é solução da nossa EDO!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Não é solução da EDO.