UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2f.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(f) .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO. O que temos que fazer é verificar se a solução dada é realmente solução da EDO.
Como vamos fazer isso?? 🤔
a EDO que nos deram é dada por
E sua possível solução é , onde foi dito que e que .
A maneira mais direta de obter esse resultado é obter as derivadas necessárias pra substituir na EDO e verificar se a equação é satisfeita.
A ideia é simples, mas acha que a execução também vai ser?
Vamos ver! 😁
Passo 2
Analisando a EDO, vemos que temos uma EDO linear de primeira ordem.
Com isso, precisamos derivar a suposta solução apenas uma vez.
Antes, vamos reescrever como
Derivando , temos
Como a derivada da soma é a soma das derivadas, temos que
Para a derivada de , aplicamos o método de derivação polinomial
Da mesma forma para a derivada de
E por fim, a derivada de , que é uma constante é .
Juntando tudo, temos
Foi tranquilo? 👀
Passo 3
Agora substituímos na EDO
Pelas propriedades da raiz, , logo
Como a raiz de um numero ao quadrado é o próprio número, então
Organizando um pouquinho o lado direito
Logo, temos que se simplificarmos
Ou seja, a igualdade foi satisfeita, logo a solução dada no enunciado se mostrou verídica!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
é solução da EDO.