UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 1j.
Problema 1 - Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
j) .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, temos que classificar a EDO dada por dizendo se ela é uma EDO linear ou se é não-linear.
Além disso, vamos definir a ordem da nossa EDO.
Já sabe como fazemos para definir essas classificações?? 🤔
Para a gente classificar uma EDO como linear ou não-linear, temos que verificar duas características na formula da EDO.
Uma EDO linear pode ser escrita
A primeira característica é que todos os termos , , ... não podem ser compostos pela variável dependente.
Ou seja, não pode haver nesses termos.
Outra característica uma EDO linear deve ter é que não pode existir uma derivada da variável dependente elevada a uma potência diferente de ou de (no caso de )
Ou seja, se tivermos ou já era! Essa EDO não vai ser linear.
Por fim, a ordem da EDO é a maior ordem de derivação que tem na equação.
Entendeu? Bora ver no nosso caso! 😁
Passo 2
Como vimos no passo anterior, a EDO que foi dada é
A primeira coisa a se fazer, é organizar a equação de modo de tenhamos .
Passando para o outro lado, temos
Podemos multiplicar os dois lados
Perceba que , logo
Passando o dividindo o , temos
Organizando um pouquinho mais, vamos obter
Ou também, podemos escrever como
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora verificamos as características que vemos lá no passo 1
A primeira é que tudo que está multiplicando e são variáveis independentes e constantes.
Vemos que em , temos apenas multiplicando, então está tudo certo!
Já em não está tudo bem, já que temos . Isso é como se nossa EDO fosse assim
Essa parte derruba a possibilidade de da nossa EDO ser linear.
Outra possibilidade de imaginar é que é a derivada de ordem de , ou seja
E como está elevado ao quadrado, temos
E pela segunda característica que definimos no passo 1, isso não pode acontecer. Com isso, nossa EDO é Não-linear
Por fim, vemos que a maior ordem de derivada que temos na equação é , ou .
Logo, nossa EDO é de primeira ordem!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
EDO Não-linear de primeira ordem.