UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 4.
Problema 4 - Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para
é . Determine um valor de para que seja uma solução singular para a equação diferencial.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Temos uma EDO dada por e é um conjunto de soluções para essa EDO onde é uma constante qualquer.
Mas também é uma solução singular da EDO e temos que obter um valor para que faça essa informação ser verdadeira.
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Para verificar a solução e para obter em podemos aplicar e suas derivadas na EDO e mostrar que a igualdade é satisfeita.
Entendeu? Bora ver na prática! 😉
Passo 2
A EDO é dada como e podemos ver que temos e da sua solução. Ou seja, vamos derivar para obter e substituir na EDO.
Primeiro para a solução geral
Derivando pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo e na EDO
Simplificando o resultado, temos
A igualdade foi satisfeita, portanto verificamos que é a solução da EDO!
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora vamos mostrar que é uma solução singular da EDO, pra isso não pode ser um valor qualquer e o que temos que fazer é obter um valor para ele.
Já vimos que temos que derivar para obter antes de fazer as substituições, ou seja
Pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo na EDO
Podemos colocar em evidência no lado direito para simplificar a equação
Cortando dos dois lados, temos
Assim, vemos que
E a solução singular é dada como
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
