UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2y.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(y) .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão, temos que verificar se a função dada é solução da EDO .
No caso, é dado como
O que você acha? é ou não é solução? 🤔
Pra responder essa pergunta, podemos aplicar da equação e verificar se a igualdade é satisfeita.
Analisando a EDO, vemos que é uma EDO de terceira ordem, ou seja, a maior derivada de é a derivada de terceira ordem, ou seja, antes de começar as substituições de na equação, vamos calcular as derivadas de .
Entendeu? Bora lá! 😁
Passo 2
Derivando pela primeira vez, temos
Perceba que vamos derivar pela regra do produto, já que temos a multiplicação de duas funções
Pelo método de derivação polinomial, vamos derivas , já a derivada de é o próprio pelo teorema fundamental do cálculo
Simplificando e organizando o resultado, temos que
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora derivamos o resultado de para obter
Novamente pela regra do produto, temos
Já sabemos qual é a derivada de , mas a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial
Simplificando e organizando o resultado
Por último derivamos para obter
Pela regra do produto, vemos que
Calculamos a derivada de pelo método de derivação polinomial, onde temos
Organizando o resultado
Agora sim já obtemos todas as derivadas de que precisamos.
Bora substituir e ver no que vai dar. 😉
Passo 4
Substituindo , , e na EDO, vamos obter
Calculando as distributivas de em e
Colocando em evidência
Como nunca é , o polinômio entre parênteses deve ser
Perceba que os termos , e os termos independentes se cancelam, portanto
A igualdade foi satisfeita, logo é SIM solução da nossa EDO!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
É solução.