Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

Ver Teoria
Exercício 71234568910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970

Enunciado

UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 7.

Problema 7 - Mostre que y 1 = x 2 e y 2 = x 3 são ambas soluções para

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

As funções, c 1 y 1 e c 2 y 2 , com c 1 e c 2 constantes arbitrárias, são também soluções? A soma, y 1 + y 2 é uma solução?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Temos varias coisas pra fazer nessa questão. Foi dada uma EDO como x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 e primeiro temos que mostrar que y 1 = x 2 e y 2 = x 3 são soluções dessa EDO.

Depois, temos que mostrar que c 1 y 1 e c 2 y 2 , em que c 1 e c 2 são constantes arbitrárias, também são soluções.

E por último temos que verificar se a soma y 1 + y 2 é uma solução da EDO.

Entendeu o que temos que fazer?? 🤔

Vamos analisar a EDO e substituir y e suas derivadas na equação e verificar se a igualdade é satisfeita.

Entendeu? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Podemos ver que a EDO contém y , y ' e y ' ' , portanto temos que obter essas derivadas da solução antes de substituir na equação.

Começando com y 1 = x 2 e y 2 = x 3 .

Derivando pelo método da derivação polinomial, temos

  y 1 ' = d x 2 d x y 1 ' = 2 x 2 - 1 y 1 ' = 2 x     y 2 ' = d x 3 d x y 2 ' = 3 x 3 - 1 y 2 ' = 3 x 2

Agora para obter a derivada segunda, derivamos o resultado que acabemos de obter

y 1 ' ' = d 2 x d x y 1 ' ' = 2 x 1 - 1 y 1 ' ' = 2     y 2 ' ' = d 3 x 2 d x y 2 ' ' = 2 · 3 x 2 - 1 y 2 ' ' = 6 x

Primeiro vamos substituir y 1 na EDO

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 2 - 4 x 2 x + 6 x 2 = 0

Simplificando, vamos obter

2 x 2 - 8 x 2 + 6 x 2 = 0

Ou seja

0 = 0

A igualdade foi satisfeita, então provamos que y 1 é uma solução!

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Agora vamos testar y 2 .

Lembrando que y 2 = x 3 , y 2 ' = 3 x 2 e y 2 ' ' = 6 x

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 6 x - 4 x 3 x 2 + 6 x 3 = 0

Simplificando a equação, temos

6 x 3 - 12 x 3 + 6 x 3 = 0

Logo, vemos que resulta em

0 = 0

Ou seja, y 2 também é uma solução da EDO!

Tranquilo até aqui? 🤩

Passo 4

Agora temos que verificar se c 1 y 1 e c 2 y 2 são soluções da EDO.

Como vimos antes, y 1 , y 2 e suas derivadas são dadas como

y 1 = x 2 y 1 ' = 2 x y 1 ' ' = 2     y 2 = x 3 y 2 ' = 3 x 2 y 2 ' ' = 6 x

Sabendo que d a x d x é a mesma coisa que a d x d x , então c 1 y 1 e c 2 y 2 são

c 1 y 1 = c 1 x 2 c 1 y 1 ' = 2 c 1 x c 1 y 1 ' ' = 2 c 1     c 2 y 2 = c 2 x 3 c 2 y 2 ' = 3 c 2 x 2 c 2 y 2 ' ' = 6 c 2 x

Substituindo c 1 y 1 na EDO, temos

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 2 c 1 - 4 x 2 c 1 x + 6 c 1 x 2 = 0

Organizando a equação

2 c 1 x 2 - 8 c 1 x 2 + 6 c 1 x 2 = 0

Portanto, podemos ver que

0 = 0

A igualdade é satisfeita, logo c 1 y 1 é uma solução da EDO!

Interessante, não é? 😉

Passo 5

Agora, substituímos c 2 y 2 na EDO

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 2 6 c 2 x - 4 x 3 c 2 x 2 + 6 c 2 x 3 = 0

Organizando a equação

6 c 2 x 3 - 12 c 2 x 3 + 6 c 2 x 3 = 0

Com isso, vemos que a equação resulta em

0 = 0

Assim vemos que c 2 y 2 é uma solução da EDO também!

Está acompanhando? 👀

Passo 6

Por último, temos que verificar se y 1 + y 2 é solução da EDO.

y = y 1 + y 2 = x 2 + x 3

Como a derivada da soma é a soma das derivadas, então

y ' = y 1 ' + y 2 ' = 2 x + 3 x 2 y ' ' = y 1 ' ' + y 2 ' ' = 2 + 6 x

Substituindo na EDO

x 2 y 1 ' ' + y 2 ' ' - 4 x y 1 ' + y 2 ' + 6 y 1 + y 2 = 0

x 2 2 + 6 x - 4 x 2 x + 3 x 2 + 6 x 2 + x 3 = 0

Simplificando a equação, temos

2 x 2 + 6 x 3 - 8 x 2 - 12 x 3 + 6 x 2 + 6 x 3 = 0

2 - 8 + 6 x 2 + 6 - 16 + 6 x 3 = 0

Dessa forma, vemos que a equação resulta em

0 = 0

Ou seja, a soma y 1 + y 2 também é solução da EDO!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y 1 = x 2 e y 2 = x 3 são soluções.

c 1 y 1 e c 2 y 2 são soluções.

y 1 + y 2 é solução.

Exercícios de Livros Relacionados

Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada. Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por (0, 1). Use o SCA para desenha
Use o campo de direções I para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Nos Exercícios 5 e 6, copie os campos de direção e esboce algumas das curvas integrais. y ' = y y + 1 y - 1