Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c1 e c₂ são constantes).

(d) dy/dt + 20y = 24; y = 6/5 * e^(-20t) .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

O objetivo da questão é calcular se y é solução da EDO dada no enunciado.

A suposta solução que vamos investigar é na verdade duas possíveis soluções dadas por y = 6 5 = 6 5 e - 20 t , ou seja y = 6 5 e y = 6 5 e - 20 t .

E a EDO que vamos verificar essa solução é dada por d y d t + 20 y = 24 .

Tem ideia do que podemos fazer para verificar essas supostas soluções?? 🤔🤔

A maneira mais direta de se verificar cada uma das soluções, é obter as derivadas necessárias para substituir na EDO e verificar a igualdade da equação.

Outra maneira é obter a solução da EDO por meio de algum método e ver se existe uma maneira de escrever a solução geral de modo que fique igual a solução dada no enunciado.

E então! Qual maneira você prefere? 👀

Passo 2

A maneira mais direta parece mais fácil, não é? Vamos por ela!

Analisando nossa EDO dada por d y d t + 20 y = 24 .

Vemos que temos uma EDO linear de primeira ordem, ou seja, a maior derivada de y é a primeira derivada.

Portanto, para cada uma das soluções, vamos obter a primeira derivada e substituir na EDO junto com a solução y .

Vamos analisar primeiro para a solução y = 6 5 . Como sabemos a derivada de uma constante é 0 , ou seja

d y d t = 0

Substituindo y e d y d t na EDO, temos

0 + 20 6 5 = 24

24 = 24

Vemos que a equação é satisfeita, portanto y = 6 / 5 é uma solução para nossa EDO!

Mas e a outra solução y = 6 5 e - 20 t , será que ela é solução? 🤔🤔

Bora ver!

Passo 3

Derivando y com relação a t , temos

d y d t = d 6 5 e - 20 t d t

Perceba que essa derivada é obtida pela regra da cadeia (a derivada de dentro - 20 t multiplicado pela derivada de fora e u )

d y d t = 6 5 d - 20 t d t · d e u d u

Como sabemos que a derivada de e u resulta no próprio e u , logo

d y d t = 6 5 - 20 · e u

Voltando u para - 20 t e simplificando o resultado

d y d t = - 24 e - 20 t

Substituindo d y d t e y na EDO

- 24 e - 20 t + 20 6 5 e - 20 t = 24

- 24 e - 20 t + 24 e - 20 t = 24

Logo, vemos que

0 = 24

A equação não é satisfeita, portanto y = 6 5 e - 20 t   n ã o   é   s o l u ç ã o   d a   n o s s a   E D O !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y = 6 5 é solução da EDO.

y = 6 5 e - 20 t não é solução EDO.

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