UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2d.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(d) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
O objetivo da questão é calcular se é solução da EDO dada no enunciado.
A suposta solução que vamos investigar é na verdade duas possíveis soluções dadas por , ou seja e .
E a EDO que vamos verificar essa solução é dada por .
Tem ideia do que podemos fazer para verificar essas supostas soluções?? 🤔🤔
A maneira mais direta de se verificar cada uma das soluções, é obter as derivadas necessárias para substituir na EDO e verificar a igualdade da equação.
Outra maneira é obter a solução da EDO por meio de algum método e ver se existe uma maneira de escrever a solução geral de modo que fique igual a solução dada no enunciado.
E então! Qual maneira você prefere? 👀
Passo 2
A maneira mais direta parece mais fácil, não é? Vamos por ela!
Analisando nossa EDO dada por .
Vemos que temos uma EDO linear de primeira ordem, ou seja, a maior derivada de é a primeira derivada.
Portanto, para cada uma das soluções, vamos obter a primeira derivada e substituir na EDO junto com a solução .
Vamos analisar primeiro para a solução . Como sabemos a derivada de uma constante é , ou seja
Substituindo e na EDO, temos
Vemos que a equação é satisfeita, portanto é uma solução para nossa EDO!
Mas e a outra solução , será que ela é solução? 🤔🤔
Bora ver!
Passo 3
Derivando com relação a , temos
Perceba que essa derivada é obtida pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicado pela derivada de fora )
Como sabemos que a derivada de resulta no próprio , logo
Voltando para e simplificando o resultado
Substituindo e na EDO
Logo, vemos que
A equação não é satisfeita, portanto !
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
é solução da EDO.
não é solução EDO.