UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2l.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(l) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão temos que verificar se uma solução de nos deram satisfaz uma EDO dada por .
No caso, (que é a possível solução) é dada por
Então! Como podemos obter essa verificação?? 🤔
A maneira mais direta de se obter se dado é solução da EDO é substituir e suas derivadas na EDO e verificar se a igualdade é satisfeita.
Primeiro de tudo, temos que analisar a EDO e verificar qual a maior ordem de derivação que temos que derivar .
Analisando vemos que temos apenas uma derivada de primeira ordem, então temos que derivar apenas uma vez.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos obter a derivada de , ou seja
Antes, vamos reescrever como , logo
Pela regra do produto, nossa derivada será
Perceba também que a derivada de é obtida pela regra da cadeia, já que temos uma função composta.
Lembra como aplica essa regra? (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, substituindo a função de dentro por uma variável na derivada de fora)
Pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo por de volta e simplificando o resultado, temos
Lembrando das propriedades de frações com raízes, temos que . Lembra disso? Ou seja
Portanto será
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora, o que temos que fazer é substituir a derivada e na EDO e ver se a igualdade é satisfeita.
Como está dentro de outro módulo, podemos fazer o seguinte
Com isso, simplificamos a raiz com o expoente
Perceba agora que do lado direito está elevado ao quadrado. Existe numero negativo quando ele é elevado ao quadrado? Não né? Então esse módulo é inútil nessa parte.
Com isso, a equação foi satisfeita, logo a solução dada é SIM solução da nossa EDO!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
é solução da EDO.