UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2h.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(h) .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, temos apenas uma EDO e uma possível solução para essa EDO.
O nosso objetivo é verificar se a solução dada é realmente solução da EDO ou não.
E aí! Como podemos verificar isso?? 🤔🤔
Primeiro de tudo, qual é nossa EDO?
Nossa EDO é dada por . Não parece muito uma EDO, não é? Temos que organizar um pouquinho essa equação.
Passando para o outro lado, temos
Dividindo os dois lados por
Agora dividindo os dois lados por
Agora parece mais com uma EDO, não é?
Bora começar! 😁😁
Passo 2
Olhando para a solução dada, vemos que não podemos isolar , ou seja
Logo, temos que derivar essa equação pela forma implícita, lembra dela?
No caso, como queremos temos que obter pelo método de derivadas parciais
No caso, é obtida derivando parcialmente com relação a
Como é uma constante, sua derivada é e isso não vai modificar nosso resultado, logo
Como estamos derivando com relação a , a variável é considerada como uma constante, ou seja, como a derivada de uma constante é e a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial, temos
Agora vamos obter , dessa vez derivando parcialmente com relação a
Agora, nas derivadas de e vamos aplicar o método de derivação polinomial
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Com esses resultados, obtemos a derivada de com relação a , ou seja
Substituindo esse resultado na EDO, vamos verificar se a igualdade é satisfeita
Incrível, não é? Obtemos o mesmo resultado derivando implicitamente a solução dada.
Portanto, é solução da EDO!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
é solução da EDO