Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c1 e c₂ são constantes).

(m) y' - 1/x * y = 1; y = x * ln(x), x > 0 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

No enunciado da questão, foi dada uma EDO e um valor para y . Esse valor de y é a suposta solução da EDO.

O que temos que fazer é verificar se y dado é realmente solução da EDO ou não.

Tem ideia de como podemos fazer isso?? 🤔

Uma forma bem direta de se resolver esse problema, é obter as derivadas necessárias para substituir y e as derivadas na EDO.

Dessa forma, se a igualdade da equação for satisfeita, y realmente é uma solução da EDO, mas se a igualdade não for satisfeita y não será solução da EDO.

Entendeu? Bora por a mão na massa! 😁

Passo 2

Primeiro vamos analisar a EDO y ' - 1 x y = 1 .

Vemos que se trata de uma EDO linear de primeira ordem, por ser de primeira ordem, a maior derivada que temos que calcular é a derivada de primeira ordem.

Portando, vamos derivar y .

d y d x = d x l n x d x

Vamos obter essa derivada pela regra do produto, lembra dela? (a derivada do primeiro · o segundo + o primeiro · a derivada do segundo)

d y d x = d x d x · l n x + x · d l n x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, vemos que a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 / x e pelo método de derivação polinomial, temos

d y d x = x 1 - 1 · l n x + x · 1 x

Simplificando onde podemos, vamos obter

d y d x = l n x + 1

Agora, o que temos que fazer é substituir d y d x e y na EDO

l n x + 1 - 1 x x l n x = 1

Simplificando os resultados, temos

l n x + 1 - l n x = 1

1 = 1

A igualdade foi satisfeita, logo y é solução da EDO!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y é solução da EDO.

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