UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2r.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(r) .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Chegamos em uma questão que foi dada uma EDO e uma possível solução para essa EDO.
Com isso, temos que verificar se essa solução realmente é a solução para nossa EDO ou não.
Certo, mas como vamos fazer isso?? 🤔
Podemos usar uma abordagem mais direta substituindo e suas derivadas na EDO e verificando se a igualdade da equação é satisfeita.
Caso a igualdade for satisfeita, a solução é realmente solução da EDO, caso o contrário a solução não será da nossa EDO.
Entendeu?
Bora ver na prática! 😁
Passo 2
Primeiro a gente analisa a EDO pra identificar o que vamos precisar obter para fazer as substituições.
Nossa EDO é dada por
Vemos que se trata de uma EDO de segunda ordem, logo a maior derivada de que temos que obter é a de segunda ordem também.
Ou seja, vamos derivar duas vezes.
A solução é dada por
Calculando a primeira derivada de , temos
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas
Pela rega da cadeia, podemos obter essas derivadas. “a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora” lembra?
Fazendo e
Pelo teorema fundamental do cálculo a derivada de é igual a .
As derivadas de e são obtidas pelo método de derivação polinomial
Substituindo e de volta
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora derivamos este resultado para obter a derivada segunda
Separando a derivada pela soma
Novamente pela regra da cadeia, temos
Acabamos de calcular essas derivadas, então podemos substituir direto
Simplificando e substituindo e novamente
Interessante, não é? 😉
Passo 4
Substituindo , e na EDO, temos
Organizando essa equação, temos
Perceba que os termos se cancelam, assim como os termos
A igualdade foi satisfeita, logo é SIM solução da nossa EDO!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
É solução da EDO.