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Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

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Enunciado

Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = 4 + 2 ln ⁡ x ,     I = 0 , ∞ ,     x 2 y ' ' - x y ' + y = 2 ln ⁡ x

Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

Nesta questão como temos o log, precisamos que o x nunca seja negativo. Como o intervalo I é só com valores positivos está tudo certo! A nossa função está bem definida!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

x 2 f ' ' - x f ' + f = 2 ln ⁡ x

Bora calcular as derivadas então

f ' = 4 ' + ( 2 ln ⁡ x ) ' = 2 x

f ' ' = f ' ' = 2 x ' = - 2 x 2

Bora olhar o lado esquerdo da igualdade primeiro então

x 2 f ' ' - x f ' + f = x 2 - 2 x 2 - x 2 x + 4 + 2 ln ⁡ x = 2 ln ⁡ x

Tá vendo que o resultado acima é o mesmo que o lado direito da igualdade? Então a igualdade está satisfeita e temos uma solução da EDO!

Resposta

É solução!

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