UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 5.
Problema 5 - Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para
é . Mostre que a relação define uma solução singular para a equação no intervalo .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Para essa questão, temos uma EDO dada por em que sua solução geral é .
Mas também temos que mostrar que a relação da circunferência define uma solução singular para a EDO no intervalo .
Como podemos fazer isso?? 🤔
A ideia é substituir e suas derivadas na EDO para verificar se a igualdade da equação é satisfeita.
Bora ver como é na prática? 😁
Passo 2
Analisando a EDO vemos que para verificar uma solução, temos que obter e .
Ou seja, derivando , vamos obter
resulta em uma constante, então sabemos que sua derivada é , então derivando pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo e da solução geral na EDO
Assim, vemos que é a solução geral da EDO.
Tudo certo? 😉
Passo 3
Mas também a questão nos disse que é valido dentro do intervalo .
Isolando , vamos obter
Ou seja, essa é uma solução singular da EDO.
Vamos fazer os mesmos procedimentos para obter a verificação.
Derivando para obter , temos
Pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora). Substituindo por na derivada de fora.
Pelo método de derivação polinomial, vamos obter
Simplificando o resultado e substituindo por de volta, vamos obter
Entendeu essa parte? 👀
Passo 4
Por fim, substituímos e da solução singular e verificamos se a equação é satisfeita.
Como é igual a , então
Deixando a raiz com o mesmo denominador
Simplificando e calculando o produto de
Como é igual a , então
Juntando as duas frações
Agora aplicamos uma regra que diz que é igual a , ou seja, se fizermos
Com isso mostramos que a relação no intervalo de é valida para a EDO como solução singular!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
é valida