UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2z.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(z) ; .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, temos uma EDO dada por e uma suposta solução para onde em que e são constantes.
Dizemos que essa é uma suposta solução pois cabe a nós verificarmos se essa solução realmente é solução da EDO ou não.
E esse é justamente o objetivo da nossa questão!
Entendeu? Como podemos fazer?? 🤔🤔
O que podemos fazer é analisar a EDO e ver o que é necessário para substituir a solução nela e verificar se a equação é satisfeita.
Caso a equação for satisfeita, significa que é realmente solução da EDO.
Bora ver na prática? 😁
Passo 2
A EDO é dada por como vemos no enunciado e no passo 1.
Nela podemos perceber que usamos , , e .
Ou seja, temos que obter as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem de antes de de fato fazer as substituições.
Derivando , vamos obter
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, logo
A derivada de e de são obtidas pela regra da cadeia já que temos uma função composta.
Já a derivada de é obtida pelo teorema fundamental do cálculo.
Substituindo por na derivada de fora de e .
Pelo teorema fundamental do cálculo sabemos que a derivada de é igual a e a derivada de é igual a .
Já a derivada de é igual a .
Logo se a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo por de volta e simplificando o resultado
Essa é a primeira derivada de !
Falta mais algumas... tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Agora para obter a segunda derivada de , derivamos com relação a
Separando pela derivada da soma novamente, temos
Reescrevendo essas derivadas como
Perceba que já calculamos essas derivadas então podemos substituir os valores, veja só!
Vimos que a derivada de é igual a , a derivada de é igual a e a derivada de é . Logo
Simplificando os resultados, temos
Bacana, não é? 🤩
Passo 4
Por último, vamos obter a derivada terceira de antes de aplicas as substituições derivando .
Separando as derivadas e organizando como no passo anterior
Novamente caímos em derivadas que já calculamos então vamos simplesmente substituir os resultados
Simplificando o resultado, temos
Agora sim temos todos as derivadas de que precisamos!
Podemos começar a fazer as substituições. Bora lá! 😉
Passo 5
Substituindo , , e na EDO, temos
Enorme, não é? 👀👀
Mas relaxa, vamos simplificar um pouquinho
Juntando os termos de , e , vamos obter
Perceba que todos os termos se cancelam resultando em
A equação foi satisfeita! Logo é solução da EDO!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
É solução da EDO.