UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2e.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(e) .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, temos que bancar uma de detetive e investigar se a solução satisfaz a EDO dada por .
Tem alguma ideia do que podemos fazer pra responder esse probleminha?? 🤔🤔
A maneira mais direta é fazer as derivações necessárias em e substitui-las, juntamente com na EDO e verificar se a equação é satisfeita.
Outra maneira é obter a solução geral da EDO por meio de algum método e verificar se existe alguma forma de escrever a solução geral de modo que fique igual a .
Então, qual maneira vamos seguir? 😁
Passo 2
Como seguimos uma lei da natureza dos fluídos, vamos escolher o caminho de menor resistência rsrsrs.
Nossa EDO é dada por . Analisando essa equação, vemos que temos uma EDO não-linear de primeira ordem, ou seja, a maior derivada que temos é a derivada de ordem 1 de .
Com isso, vamos derivar e substituir, junto com em , na EDO.
Derivando , temos
Aplicando a rega da cadeia, temos que a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora é
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é igual a , logo
Substituindo por de volta e simplificando o resultado
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Substituindo e sua derivada na EDO, temos
Simplificando o termo
Vamos dividir os dois lados por pra descarregar a equação
Como podemos verificar se essa equação é verdadeira? Não tão intuitivo apenas olhando, concorda? 🤔
Temos que obter alguma relação trigonométrica que nos prove que essa equação é verdadeira ou falsa. Portanto temos que escrever como ou como .
Qual é a maior relação trigonométrica de todas? A parametrização da circunferência, não é?
Vamos dividir os dois lados por
O que é ? , correto? E o que é ? , correto?
Essas relações são mais comuns
Simplificando a equação e fazendo as substituições, temos
Se chamarmos de na nossa solução, vamos obter exatamente o mesmo resultado!
Portanto, vemos que SIM! A solução é uma solução da nossa EDO!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
é uma solução da nossa EDO