UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 4b
Responda falso ou verdadeira justificando a sua resposta, ou seja, prove se for verdadeiro ou dê um contra exemplo se for falso:
Se é uma solução particular de uma EDO linear de primeira ordem então a função também é solução.
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Esta questão pede para que analisemos duas afirmativas, verificando se elas são verdadeiras ou falsas, provando a veracidade ou dando um contra-exemplo caso seja falsa. Nesta afirmativa em particular, temos a afirmação
“Se é uma solução particular de uma EDO linear de primeira ordem então a função também é solução.”
Como podemos verificar a veracidade desta afirmação? Primeiro, o que garante que uma dada função é solução de uma equação de primeira ordem? Ela deve resolver a equação
em que a função por enquanto é arbitrária, mas, para que a equação seja linear, é necessário que a função tenha o seguinte formato
Vamos ver se a afirmação faz sentido tendo em vista estas definições! Bora lá!
Passo 2
Primeiro, temos que é solução, portanto, temos que
é uma equação verdadeira! Agora, será que também é solução? Vamos substituir esta solução em uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear, ou seja, escrever
note que esta equação é a mesma que é solução para , já que não mudamos as funções e . Usando nesta equação que , obtemos
Se dividirmos tudo por , temos que
Como temos que é solução da equação diferencial, portanto, o lado esquerdo é identicamente igual a , e o lado direito é igual a . Ou seja, temos que
O que é um absurdo! Sendo assim, se é solução, não necessariamente será solução, a afirmação é verdadeira apenas quando . A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Falsa