UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2t.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(t) .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, foi dada uma EDO e um valor que é dado como a solução para essa EDO.
No caso, a EDO que nos deram é a seguinte:
E a suposta solução é .
Com essas informações temos que verificar se essa solução realmente satisfaz a EDO ou não.
Entendi, mas como vamos fazer isso?? 🤔
Que tal a gente substituir e suas derivadas na EDO e ver se a equação é satisfeita? Essa é uma maneira bem direta de se verificar se a solução satisfaz a EDO.
Dessa forma, se a igualdade for satisfeita, é porque é solução da EDO. Mas se caso a igualdade não for satisfeita, não é solução da EDO.
Entendeu? Bora ver como é isso! 😁
Passo 2
Primeiro, temos que analisar a EDO. Vemos que temos uma derivada de segunda ordem de e uma derivada de primeira ordem, ou seja, vamos derivar a solução dada por duas vezes e substituir na EDO.
Derivando pela primeira vez, temos
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...
Para a derivada de vamos aplicar a regra da cadeia, lembra? “a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora”. Substituindo por
Sabemos que a derivada de é o próprio e a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial.
Simplificando e substituindo por de volta, temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora, vamos obter a derivada de .
Neste caso, vamos aplicar a regra do produto.
Acabamos de calcular a derivada de , então podemos simplesmente substituir o resultado.
Já a derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial.
Substituindo em , temos
Encontramos a primeira derivada, mas agora temos que obter a segunda derivando o resultado da primeira.
Podemos reescrever essa derivada como
Espera!! Já não calculamos a derivada de e de ? Então pra ganhar tempo, podemos simplesmente substituir os resultados
Interessante, não é? 😉
Passo 4
Por último, vamos substituir as derivadas na EDO e ver se a igualdade é satisfeita
Simplificando a equação, chegamos em
Colocando e em evidência
Com isso, vimos que a igualdade foi satisfeita, portanto a solução satisfaz a nossa EDO!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
satisfaz a EDO.