Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c1 e c₂ são constantes).

(o) dX/dt = (2 - X) / (1 - X); ln((2 - X) / (1 - X)) = t .

Passo 1

Opa, e aí! Tudo bem?! Temos a equação diferencial:

d X d t = 2 - X 1 - X

E uma possível solução:

ln ⁡ 2 - X 1 - X = t

O enunciado pergunta se essa é uma solução pro nosso problema. Pra isso a gente vai separar as variáveis dessa equação, integrar e conferir se bate com a solução dada!

Passo 2

Temos a EDO:

d X d t = 2 - X 1 - X

Separando e colocando as integrais:

∫ d X 2 - X 1 - X = ∫ d t    

Passo 3

Pra resolver esse problema vamos precisar usar frações parciais, vamos reescrever a expressão:

1 2 - X 1 - X = A 2 - X + B 1 - X

Assim:

A 2 - X + B 1 - X = A 1 - X + B ( 2 - X ) 2 - X 1 - X = 1 2 - X 1 - X

Então podemos dizer que:

A 1 - X + B 2 - X = 1

A - A X + 2 B - B X = 1

Não tem X do lado direito da equação, então podemos dizer que:

A + 2 B = 1   ( i )

- A X - B X = 0 → - A - B = 0   ( i i )

Temos então:

A = - B ( i )

Substituindo i em i i :

- B + 2 B = 1

B = 1

Assim:

A = - 1

Logo temos:

- 1 2 - X + 1 1 - X

Passo 4

A nossa integral fica:

∫ d X 2 - X 1 - X = - ∫ 1 2 - X d X + ∫ 1 1 - X d X

Ou então:

∫ 1 X - 2 d X - ∫ 1 X - 1 d X

Agora é resolver! Começando com a primeira integral, vamos aplicar a substituição:

u = X - 2

Assim:

d u = 1

Temos:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ X - 2  

A outra integral é muito parecida, podemos aplicar a mesma substituição e vamos ficar com:

- ∫ 1 1 - X d X = - ln ⁡ X - 1  

Então:

∫ d X 2 - X 1 - X = ln ⁡ X - 2 - ln ⁡ X - 1 + C

Passo 5

Tinhamos a seguinte igualdade:

∫ d X 2 - X 1 - X = ∫ d t    

Substituindo a integral do passo anterior e integrando o lado direito:

ln ⁡ X - 2 - ln ⁡ X - 1 + C = t  

Agora a gente pode usar a propriedade de subtração do logaritmo:

ln ⁡ X - 2 ln ⁡ X - 1 + C = t  

Essa é a família de soluções da nossa EDO! Se considerarmos C = 0 temos que:

ln ⁡ X - 2 ln ⁡ X - 1 = t  

É uma das soluções possíveis!

Resposta

É solução da EDO.

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