UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2o.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(o) .
Passo 1
Opa, e aí! Tudo bem?! Temos a equação diferencial:
E uma possível solução:
O enunciado pergunta se essa é uma solução pro nosso problema. Pra isso a gente vai separar as variáveis dessa equação, integrar e conferir se bate com a solução dada!
Passo 2
Temos a EDO:
Separando e colocando as integrais:
Passo 3
Pra resolver esse problema vamos precisar usar frações parciais, vamos reescrever a expressão:
Assim:
Então podemos dizer que:
Não tem do lado direito da equação, então podemos dizer que:
Temos então:
Substituindo em :
Assim:
Logo temos:
Passo 4
A nossa integral fica:
Ou então:
Agora é resolver! Começando com a primeira integral, vamos aplicar a substituição:
Assim:
Temos:
A outra integral é muito parecida, podemos aplicar a mesma substituição e vamos ficar com:
Então:
Passo 5
Tinhamos a seguinte igualdade:
Substituindo a integral do passo anterior e integrando o lado direito:
Agora a gente pode usar a propriedade de subtração do logaritmo:
Essa é a família de soluções da nossa EDO! Se considerarmos temos que:
É uma das soluções possíveis!
Resposta
É solução da EDO.