UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2g.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(g) .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão vamos bancar uma de detetive e investigar se a solução que foi dada satisfaz a EDO.
No caso a solução é e a EDO é .
Tem ideia do que podemos fazer?? 🤔
Temos uma forma bem direta de resolver esse problema. Que tal obter as derivadas necessárias e substituir na EDO.
Com isso, caso a solução seja verídica, a equação deverá ser satisfeita.
Preparado? Bora começar! 😁
Passo 2
Analisando a EDO, vemos que temos uma equação linear de primeira ordem, ou seja, a máxima derivada que ela contém é a primeira derivada da solução.
Assim, temos que derivar a suposta solução uma vez apenas. Ou seja:
Como a derivada da soma é a soma das derivadas, temos
Vamos colocar as constantes fora das derivadas para facilitar a visualização do que estamos fazer
Pelo teorema fundamental do cálculo, vemos que a derivada de é igual a e a derivada de é igual a , logo
Já a derivada de é obtida pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora) lembra?
Substituindo por , na derivada de fora, temos
Substituindo por de volta
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Juntando os resultados das derivadas de , temos
Substituindo e na EDO, vamos obter
Simplificando os valores
A igualdade não foi satisfeita, portanto, não é solução da EDO!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
A solução não é solução dessa EDO.