UTFPR. Equações Diferenciais Ordinárias. AV1. Lista 1 - Prof. Dr. Rodrigo Labiak. Questão 2v.
Problema 2 - Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( e são constantes).
(v) .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Este probleminha, nos deu uma EDO e uma possível solução dessa EDO.
No caso a EDO é a seguinte:
Já a suposta solução é dada como , em que é uma constante.
É dito que é uma suposta solução, pois nós vamos ter que dizer se realmente a EDO é satisfeita com essa solução ou não.
Ok, mas como podemos saber se a solução satisfaz a EDO?? 🤔🤔
De maneira direta, podemos substituir e suas derivadas na EDO e ver se a igualdade da equação é satisfeita, o que você acha?
Bora ver como vamos desenvolver o problema! 😁😁
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a EDO para ver o que vamos precisar para fazer as substituições
A EDO é , logo vemos que é uma EDO de segunda ordem, ou seja, temos que obter a segunda derivada de antes de substitui na equação.
Derivando , temos
Aplicando a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora).
Substituindo por na derivada de fora.
Sabemos que a derivada de é igual a pelo teorema fundamental do cálculo, logo
Organizando o resultado e substituindo por de volta
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Agora temos que derivar que acabamos de calcular para obter
Novamente pela regra da cadeia, temos
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é igual a , logo
Organizando o resultado e substituindo por
Agora sim temos todos os dados necessária para substituir na EDO.
Substituindo e , vamos obter
Perceba que aparece somando e subtraindo na equação, logo temos
A equação é satisfeita, portanto a solução satisfaz a EDO!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
satisfaz a EDO