(Cap. 11.2 – Ex. 8) Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n !

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho? 👍

Então galera, essa questão quer que testemos nosso conceito sobre séries. Como assim? Uma série é dita divergente ou convergente se, e somente se, a sequência de somas parciais também for divergente ou convergente, respectivamente. A sequência que nos foi dada é:

s n = - 1 n - 1 n !

Para calcularmos os oito primeiros termos da sequência de somas parciais, teremos que fazer:

s 1 = a 1

s 2 = s 1 + a 2

s 3 = s 2 + a 3

s 8 = s 7 + a 8

Se notarmos que a sequência está tendendo para um valor fixo, então a conclusão será de que a mesma é convergente. Caso contrário, então a conclusão será de que a mesma é divergente. Sem mais delongas, mãos à obra!

Passo 2

Vamos substituir n por 1 para calcular a 1 , por 2 para calcular a a 2 e assim por diante

Calculando os termos da sequência

Para s 1 , temos

s 1 = a 1

s 1 = - 1 1 - 1 1 ! → s 1 = 1

Para s 2 , temos

s 2 = s 1 + a 2

s 2 = 1 + - 1 2 - 1 2 ! → s 2 = 0,5

Para s 3 , temos

s 3 = s 2 + a 3

s 3 = 0,5 + - 1 3 - 1 3 ! → s 3 = 0,6667

Para s 4 , temos

s 4 = s 3 + a 4

s 4 = 0,6667 + - 1 4 - 1 4 ! → s 4 = 0,625

Para s 5 , temos

s 5 = s 4 + a 5

s 5 = 0,625 + - 1 5 - 1 5 ! → s 5 = 0,6333

Para s 6 , temos

s 6 = s 5 + a 6

s 6 = 0,6333 + - 1 6 - 1 6 ! → s 6 = 0,6319

Para s 7 , temos

s 7 = s 6 + a 7

s 7 = 0,6319 + - 1 7 - 1 7 ! → s 7 = 0,6321

Para s 8 , temos

s 8 = s 7 + a 8

s 8 = 0,6321 + - 1 8 - 1 8 ! → s 8 = 0,6321

Podemos notar que a sequência tende para um valor em torno de 0,63 . Sendo assim, a conclusão é de que a série é convergente e converge para 0,63 .

Graficamente, vemos que quanto maior o n , a soma se aproxima de 0,63

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí 😎👍

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n !   é   c o n v e r g e n t e

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