UnB – Cálculo 1 – AVA1 – Questão 4d
Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo
d) Toda sequência periódica convergente é constante. (Uma sequência () diz-se periódica quando existe tal que para todo )
Passo 1
Oi galera, tudo tranquilo por aí? Temos um problema complicado, mas vou traduzir ele pra você!
O problema começa afirmando que
E precisamos decidir se essa afirmação é sempre verdadeira, ou falsa
Mas você lembra quais são as características de uma sequência periódica?
Vamos começar com alguns exemplos de sequências periódicas:
Uma sequência constante é aquela em que seus termos sempre se repetem, por exemplo:
Agora que você lembra dessas características, vamos avaliar a afirmativa?
Vamos começar?
Passo 2
Nossa afirmativa é
Vamos imaginar o contrário! Vamos imaginar uma sequência periódica que não seja constante, igual as que coloquei nos exemplos lá em cima, quando os termos são diferentes entre si, mas se repetem
Notem que as posições ímpares são ocupadas pelo número , assim como as posições pares são ocupadas pelo número
Assim
Mas esses limites são diferentes entre si! Isso significa que não podemos afirmar para onde converge nossa sequência!
Sendo assim, para uma sequência periódica ser convergente, ela precisa ser constante
E com isso nossa afirmativa está correta
Beleza? E é isso! Até a próxima!