UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 12 – Questão 19
Sabendo que se , calcule a soma da série
Sugestão: use que
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa série aqui
E pediu para dizermos qual é seu valor!
Mas como assim? Calma! O problema nos deu essa série aqui
Ela é a derivada da série harmônica!
Notou que o índice do somatório pulou pra 1 quando derivou? Pois é! É esse truque sujo que vamos usar!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A série para comparação dada foi essa aqui
A nossa série tem a multiplicação de dois termos em , então para forçar esse segundo termo multiplicativo aparecer, vamos derivar dos dois lados essa expressão
Beleza até aqui?
Notou que o índice pulou para , isso porque antes disso ficaríamos com expoente negativo em , e isso não pode acontecer em uma série de potências.
Agora vem nosso truque sujo! Vamos retornar nossa série para começar no índice . Mas como fazer isso???
Fazendo oras! Precisamos que desapareça o do lado direito do começo do somatório, então vamos trocar o lado direito
E agora? Agora é só resolver
Beleza?
Agora é #partiu fazer a correspondência com nossa série!
Passo 3
Nossa série que precisamos encontrar o valor é
E se fizermos na série do passo 2, não vamos ter a mesma coisa?
Vamos! Então agora que sabemos quanto vale , podemos substituir na forma analítica da nossa série e determinar o valor dela
Fazendo
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!