UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 2
Determine o próximo termo da sequência
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Uma sequência numérica, como o próprio nome diz é uma sequência de ... números! Ok, mas será que serve qualquer número?
Não! Os números estão organizados por meio de alguma “lei”, e essa lei muda de exercício para exercício...
Cada sequência numérica tem sua lei de formação, então cabe a nós descobrir qual é essa lei. A gente precisa ir analisando os números e vendo se tem alguma relação entre eles.
Vou te dar um exemplo:
A sequência dos números pares
A gente pode associar cada número a uma posição. O número é o primeiro número, chamamos ele de , o é o segundo , e assim por diante... O número vai ser o número que vai ocupar a posição;
Então a gente pode escrever esses números em termos das posições assim:
Aí a “lei de formação” dessa sequência é:
E daí pra saber o próximo número, a gente vê qual posição ele vai ocupar e coloca ali no lugar do .
Viu? Esse é um exemplo de como a gente pode achar o próximo número numa sequência numérica...
Precisamos identificar os primeiros termos, depois ver se tem alguma ligação entre eles, seja somando algum fator, multiplicando por um fator, sendo potência...
E tem mais! A sequência numérica pode ser composta por duas ou mais leis.. por exemplo:
Os termos que ocupam posições pares são
E os termos que ocupam posições ímpares são
Aí essa sequência ficaria assim:
E assim por diante
Então precisamos olhar com bastaaaante carinho nossa sequência, ok?
Passo 2
Vamos olhar a nossa sequência:
Vou separar em termos pra ver se a gente vê alguma relação entre eles:
E o problema quer saber quem é o .
Dá uma olhadinha com mais atenção nos números que ocupam as posições ímpares
Huuummmm essa sequência não é exatamente a sequência dos números pares que comentei com você no passo anterior? É ela mesmo!
Então os termos que ocupam as posições ímpares são os números da sequência dos números pares. Digamos que a posição seja , para ímpar:
Pois assim o primeiro termo é
O terceiro termo:
O quinto termo:
O sétimo termo:
E o nono termo...
É esse termo que queremos!
Passo 3
Mas e qual seria a lei de formação dos outros números?
O problema não pediu, mas é interessante para a gente analisar como exercício mesmo! Para ficar como um olhar mais afiado na hora de ver as sequências.
Bom, vamos olhar os números que ocupam as posições pares:
Do termo para o termo foram adicionadas unidades!
Do termo para o termo também foram adicionadas unidades!
E do para o ? Também!
Então aqui a lei de formação é pegar o termo anterior (lembrando são só os elementos pares e que o primeiro termo é ) e adicionar :
E se o problema quisesse o próximo termo par seria
E assim por diante!
Passo 4
Recapitulando, a ideia para achar os próximos números de uma sequência a gente precisa identificar qual é a lei de formação, separando a sequência em duas, vendo se somamos um número ao anterior, se multiplicamos...
Nosso problema era encontrar o , e ele é um número com posição ímpar. Esses números são dados pela sequência dos números pares.
Então achamos que !
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!