UFJF – Equações Diferenciais – AVA1 – Questão 4c
Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo
c) Toda sequência convergente é monótona
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Temos um problema complicado, mas vou traduzir ele pra você!
O problema afirma que
E precisamos decidir se essa afirmação é sempre verdadeira, ou falsa
Mas você lembra quais são os critérios para uma sequência ser convergente e monótona?
Para uma sequência ser monótona, o comportamento dela tem que ser sempre o mesmo: ou ela sempre aumenta, ou ela sempre diminui:
- Crescente se: , para todo
- Decrescente se: , para todo
Mas só isso não garante que ela seja convergente! Para uma sequência ser convergente, além dela ser monótona, ela precisa ser limitada também
- Se a sequência for crescente: precisa ser limitada superiormente (pois assim não cresce indefinidamente)
- Se a sequência for decrescente: precisa ser limitada inferiormente (para não explodir para )
Ser apenas limitada, não garante a convergência. Mas ela ser monótona e limitada (conforme as especificações ali em cima) ela é convergente
Agora que você lembra dos critérios, vamos avaliar a afirmativa?
Relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa afirmativa é
E acabamos de ver que para uma sequência ser convergente ela precisa ser monótona E limitada, então essa afirmativa é sempre verdadeira
Beleza? Espero ter ajudado!