Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo

c) Toda sequência convergente é monótona

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Temos um problema complicado, mas vou traduzir ele pra você!

O problema afirma que

Toda sequência convergente é monótona

E precisamos decidir se essa afirmação é sempre verdadeira, ou falsa

Mas você lembra quais são os critérios para uma sequência ser convergente e monótona?

Para uma sequência ser monótona, o comportamento dela tem que ser sempre o mesmo: ou ela sempre aumenta, ou ela sempre diminui:

  1. Crescente se: a n + 1 > a n , para todo n ≥ 1
  2. Decrescente se: a n + 1 < a n , para todo n ≥ 1

Mas só isso não garante que ela seja convergente! Para uma sequência ser convergente, além dela ser monótona, ela precisa ser limitada também

  • Se a sequência for crescente: precisa ser limitada superiormente (pois assim não cresce indefinidamente)
  • Se a sequência for decrescente: precisa ser limitada inferiormente (para não explodir para - ∞ )

Ser apenas limitada, não garante a convergência. Mas ela ser monótona e limitada (conforme as especificações ali em cima) ela é convergente

Agora que você lembra dos critérios, vamos avaliar a afirmativa?

Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa afirmativa é

Toda sequência convergente é monótona

E acabamos de ver que para uma sequência ser convergente ela precisa ser monótona E limitada, então essa afirmativa é sempre verdadeira

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

v e r d a d e i r a

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Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue. 1 2 , 1 4 , 1 6 , 1 8 ,…