UFV, Sem Campus, Cálculo 2,Trabalhos para Nota - 2022.2, Questão 2
Sejam , e , números reais dados. Suponha que a série trigonométrica convirja uniformemente em à função . Prove que:
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
Temos aqui um problema que busca analisar as propriedades da série trigonométrica
se nos lembrarmos bem, sob as condições corretas, esta é a série de Fourier de uma função seccionalmente contínua, periódica de período . Os coeficientes são os coeficientes de Fourier, e queremos demonstrar que
Como podemos fazer isso? Existe um truque básico para fazermos isso, usando a paridade das funções seno e cosseno e um pouco de álgebra! Saca só!
Passo 2
Vamos usar a identificação
e, então, multiplicar ambos os lados por e integrar em no intervalo , temos que
note que a função cosseno tem paridade par e a função seno tem paridade ímpar, portanto, o produto de uma função par com uma função ímpar gera uma função ímpar, e funções ímpares integradas em intervalos simétricos se anulam, temos então que as duas primeiras integrais são iguais a zero, de forma que
Agora precisamos calcular a última integral! Vamos lá!
Passo 3
Vamos lembrar as relações trigonométricas
e, também
se subtrairmos a primeira da segunda, temos que
ou simplesmente
se identificarmos que e , podemos escrever que
e, a nossa integral se torna
Vamos resolver as duas integrais que sobram! Saca só!
Passo 4
Temos que calcular a seguinte integração
Antes de podermos calcular essas integrais, temos que tomar um cuidado, se , temos as seguintes integrais
que resultam em
e
de forma que para , temos que
Mas e para ? Então temos que
avaliando os limites, como temos que é um número inteiro, temos que a soma dá zero, portanto, para , temos que
E, porquê isso é importante? Saca só!
Passo 5
Como temos que a nossa integral não é nula apenas para , e é um valor fixo, temos que a soma presente em nossa série só tem um único termo não nulo dado para quando , portanto, podemos escrever que
ou simplesmente
que é exatamente o que queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos Passos!