Sejam a n , n ≥ 0 e b n , n ≥ 1 números reais dados. Suponha que a série trigonométrica a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n x ) + b n s e n ( n x ) ] convirja uniformemente em [ - π , + π ] à função f . Prove que:

b n = 1 π ∫ - π π f ( x ) s e n ( n x ) d x

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Temos aqui um problema que busca analisar as propriedades da série trigonométrica

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n x ) + b n s e n ( n x ) ]

se nos lembrarmos bem, sob as condições corretas, esta é a série de Fourier de uma função f seccionalmente contínua, periódica de período 2 π . Os coeficientes são os coeficientes de Fourier, e queremos demonstrar que

b n = 1 π ∫ - π π f ( x ) s e n ( n x ) d x

Como podemos fazer isso? Existe um truque básico para fazermos isso, usando a paridade das funções seno e cosseno e um pouco de álgebra! Saca só!

Passo 2

Vamos usar a identificação

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n x ) + b n s e n ( n x ) ]

e, então, multiplicar ambos os lados por s e n ( k x ) e integrar em x no intervalo [ - π , π ] , temos que

∫ - π π f ( x ) s e n ( k x ) d x = a 0 2 ∫ s e n ( k x ) d x   + ∑ n = 1 ∞ a n ∫ - π π c o s ( n x ) s e n ( k x ) d x   +   b n ∫ - π π s e n ( n x ) s e n ( k x ) d x

note que a função cosseno tem paridade par e a função seno tem paridade ímpar, portanto, o produto de uma função par com uma função ímpar gera uma função ímpar, e funções ímpares integradas em intervalos simétricos se anulam, temos então que as duas primeiras integrais são iguais a zero, de forma que

∫ - π π f ( x ) s e n ( k x ) d x = ∑ n = 1 ∞   b n ∫ - π π s e n ( n x ) s e n ( k x ) d x

Agora precisamos calcular a última integral! Vamos lá!

Passo 3

Vamos lembrar as relações trigonométricas

c o s ( a + b ) = c o s ( a ) c o s ( b ) - s e n ( a ) s e n ( b )

e, também

c o s ( a - b ) = c o s ( a ) c o s ( b ) + s e n ( a ) s e n ( b )

se subtrairmos a primeira da segunda, temos que

2   s e n ( a )   s e n ( b ) = c o s ( a - b ) - c o s ( a + b )

ou simplesmente

s e n ( a ) s e n ( b ) = 1 2 [ c o s ( a - b ) - c o s ( a + b ) ]

se identificarmos que a = n x e b = k x , podemos escrever que

s e n ( n x ) s e n ( k x ) = 1 2 [ c o s ( n x - k x ) - c o s ( n x + k x ) ] = 1 2 { c o s [ ( n - k ) x ] - c o s [ ( n + k ) x ] }

e, a nossa integral se torna

∫ - π π f ( x ) s e n ( k x ) d x = ∑ n = 1 ∞   b n 2 ∫ - π π { c o s [ ( n - k ) x ] - c o s [ ( n + k ) x ] } d x

Vamos resolver as duas integrais que sobram! Saca só!

Passo 4

Temos que calcular a seguinte integração

∫ - π π { c o s [ ( n - k ) x ] - c o s [ ( n + k ) x ] } d x = ∫ - π π c o s [ ( n - k ) x ] d x - ∫ - π π c o s [ ( n + k ) x ] d x

Antes de podermos calcular essas integrais, temos que tomar um cuidado, se n = k , temos as seguintes integrais

∫ - π π c o s [ ( n - k ) x ] d x - ∫ - π π c o s [ ( n + k ) x ] d x = ∫ - π π d x - ∫ - π π c o s [ ( 2 k ) x ] d x

que resultam em

∫ - π π d x = x | - π π = 2 π e ∫ - π π c o s [ ( 2 k ) x ] d x = 1 2 k s e n ( 2 k x ) | - π π = 0

de forma que para k = n , temos que

∫ - π π c o s [ ( n - k ) x ] d x - ∫ - π π c o s [ ( n + k ) x ] d x = 2 π

Mas e para k ≠ n ? Então temos que

∫ - π π c o s [ ( n - k ) x ] d x - ∫ - π π c o s [ ( n + k ) x ] d x = 1 n - k s e n [ ( n - k ) x ] | - π π - 1 n + k s e n [ ( n + k ) x ] | - π π

avaliando os limites, como temos que ( n - k ) é um número inteiro, temos que a soma dá zero, portanto, para k ≠ n , temos que

∫ - π π c o s [ ( n - k ) x ] d x - ∫ - π π c o s [ ( n + k ) x ] d x = 0

E, porquê isso é importante? Saca só!

Passo 5

Como temos que a nossa integral não é nula apenas para n = k , e k é um valor fixo, temos que a soma presente em nossa série só tem um único termo não nulo dado para quando k = n , portanto, podemos escrever que

∫ - π π f ( x ) s e n ( k x ) d x = b k 2 2 π

ou simplesmente

b k = 1 π ∫ - π π f ( x ) s e n ( k x ) d x

que é exatamente o que queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

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