Justifique porque as sequências dadas pelos seguintes termos gerais convergem.

b) ∑ k = 1 n 1 k 3

Passo 1

Para justificar a convergência da sequência dada pelo termo geral ( a n = ∑ k = 1 n 1 k 3 ) , podemos utilizar o critério de convergência de séries p.

O teste de convergência para series p afirma que a série ( ∑ k = 1 ∞ 1 k p ) converge se ( p   >   1 ) e diverge se ( p   ≤ 1 ) .

Passo 2

Neste caso, temos ( a n = ∑ k = 1 n 1 k 3 ) . Podemos comparar essa série com a série ( ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ) , que é uma série-p com ( p   =   3 ) . Como ( p   >   1 ) , de acordo com o teste de convergência de p, a série ( ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ) converge.

Agora, em relação à sequência dada por ( a n ) , ela é uma sequência de somas parciais da série convergente ( ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ) . Portanto, pelo critério de convergência de séries, a sequência das somas parciais ( a n ) também converge.

Em resumo, a sequência dada pelo termo geral ( ∑ k = 1 n 1 k 3 ) converge porque está relacionada a uma série convergente ( ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ) , e as somas parciais dessa série formam a sequência ( a n ) .

Resposta

Ver o desenvolvimento.

Exercícios de Livros Relacionados