UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 8b
Justifique porque as sequências dadas pelos seguintes termos gerais convergem.
b)
Passo 1
Para justificar a convergência da sequência dada pelo termo geral , podemos utilizar o critério de convergência de séries p.
O teste de convergência para series p afirma que a série converge se e diverge se .
Passo 2
Neste caso, temos . Podemos comparar essa série com a série , que é uma série-p com . Como , de acordo com o teste de convergência de p, a série converge.
Agora, em relação à sequência dada por , ela é uma sequência de somas parciais da série convergente . Portanto, pelo critério de convergência de séries, a sequência das somas parciais também converge.
Em resumo, a sequência dada pelo termo geral converge porque está relacionada a uma série convergente , e as somas parciais dessa série formam a sequência .
Resposta
Ver o desenvolvimento.