UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 8c
Justifique porque as sequências dadas pelos seguintes termos gerais convergem.
c)
Passo 1
Para justificar a convergência da sequência dada pelo termo geral , podemos utilizar o critério de convergência de séries chamado o critério de convergência de Cauchy.
O critério de convergência de Cauchy afirma que uma série infinita converge se, para todo , existe um número natural tal que, para todos os inteiros , a soma dos termos entre e (ou seja, ) seja menor do que .
Agora, vamos aplicar o critério de convergência de Cauchy à série :
Dado , queremos encontrar tal que, para todos os inteiros , tenhamos:
No nosso caso, . Portanto, queremos:
Passo 2
Aqui, podemos usar a propriedade de convergência da série exponencial para simplificar. A série exponencial é dada por:
Se escolhermos , então temos:
Portanto, a série converge para .
Agora, para o critério de convergência de Cauchy, escolhemos de modo que . Isso nos garante que:
Assim, o critério de convergência de Cauchy é satisfeito, e podemos concluir que a série converge.
Resposta
Ver o desenvolvimento.