UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 12 – Questão 20
Sabendo que se , calcule a soma da série
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa série aqui
Podemos rescrever ela a partir de , trocando tudo que tem por :
Então nosso problema agora virou determinar o valor dessa série aí!
O problema pediu para dizermos o valor dela, mas para isso precisamos de uma forma analítica, uma função que represente ela... e o problema deu isso aqui
Mas como assim comparar essas duas séries?
Calma! Vamos organizar a série que temos, separando aquele
E passando lá para o outro lado
A ideia é manipular esse somatório para termos uma correspondência dessa expressão com a série dada! Assim vamos ter uma expressão analítica, em termos de , que vamos conseguir calcular o valor exato dessa série!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A série dada para comparação foi essa aqui
A série que precisamos encontrar a forma analítica é essa aqui
Então precisamos que apareça um na série que vamos comparar, e por isso vamos derivar! Derivando aquele expoente vai cair multiplicando e do outro lado vamos derivar também!
Derivando dos dois lados temos o seguinte
Separando novamente e passando para o outro lado:
Beleza?
Agora é #partiu comparar com a série que precisamos achar o valor!
Passo 3
Nossa missão agora é encontrar a forma analítica na nossa série
Temos uma correspondência mto boa
Fazendo !
Então agora que temos a forma analítica, é só substituir e calcular o valor da série!
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!