Verifique se as sequências definidas pelos seguintes remos gerais convergem e, caso convirjam, calcule seus limites.

i) n(1 - cos(1/n))

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver esta querida atividade. O que queremos aqui é descobrir se a sequência dada converge ou não. Pa isso iremos calcular o limite da sequencia e caso esse limite exista ela converge, caso não ela diverge.

Passo 2

Para calcular o limite da sequência dada iremos manipula-la para possamos usar L ' H o p i t a l

lim x → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ 1 x 1 x

Aplicando L ' H o p i t a l

lim x → ∞ ⁡ - sin ⁡ 1 x x 2 - 1 x 2

Simplificando

lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ 1 x

Então o que iremos fazer é, se lim u → b ⁡ f ( u ) = L e lim x → a ⁡ g ( x ) = b então lim x → a ⁡ f ( g x ) = L . Dito isso

lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ 0 = 0

Então nosso limite converge meu amigo, forte abraço e até a próxima.

Resposta

lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ 0 = 0

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