UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - UFMG 2023.1 - 1ª Lista, Questão 7
Seja . Mostre que
Conclua que a sequência de termo geral
Converge e calcule o seu limite.
Passo 1
Olá meu amigo, Yuri aqui e agora vamos fazer o que nos pedem. Primeiro vamos mostrar que
Podemos mostrar essa igualdade usando a soma de uma série geométrica. A série que estamos interessados em é:
Se você reparar essa série é igual à soma de uma série geométrica finita:
Seja a razão comum da sequência, neste caso, . A fórmula geral para a soma de uma série geométrica finita é:
Substituindo nesta fórmula, obtemos:
Esta é a fórmula desejada para a soma da série:
Portanto, mostramos que a soma da série é igual a para qualquer pertencente ao intervalo aberto (-1, 1).
Passo 2
Para concluir que a sequência de termo geral converge e calcular seu limite, usaremos a fórmula que obtivemos anteriormente:
Primeiro, vamos analisar a convergência da sequência. A sequência converge quando o limite quando tende ao infinito existe e é finito. Para verificar isso, vamos calcular o limite de à medida que tende ao infinito:
Agora, vamos considerar o comportamento de e à medida que tende ao infinito.
Como , então à medida que tende ao infinito, se aproxima de 0, pois se aproxima de 0 para qualquer
O limite é calculado como:
Assim, concluímos que a sequência converge se e seu limite é dado por .
Resposta
Ver o desenvolvimento.