(a) Considere a seguinte proposição:

S_e_a_n é uma sequência tal que |a_n - 2| < 10^(-5) para todo n ∈ N, onde a_n → 2.

(a₁) A proposição é verdadeira ou falsa? (Justifique)

(a₂) Enuncie a recíproca e decida se ela é verdadeira ou falsa. (Justifique)

Passo 1

( a 1 ) A gente nota que a proposição é falsa pois ela pode convergir para um valor que esteja a menos de 10 - 5 de distância de 2 . Quer um exemplo? Digamos que tenhamos a seguinte sequência:

a n = 2 + 10 - 6 - 10 - 6 n

O a 1 dessa sequência seria 2 e ela convergiria para 2 + 10 - 6 . Sua distância para 2 é menor que 10 - 5 em todos os seus valores de sequência. Concluímos, proposição falsa.

Passo 2

( a 2 ) A recíproca dela seria

S e   a n → 2 ,   e n t ã o   a n   é   u m a   s e q u ê n c i a   t a l   q u e   a n - 2 < 10 - 5   p a r a   t o d o   n   ∈   N .

Nesse caso, podemos provar por meio de um exemplo, que existem sequências que convergem para 2 e, mesmo assim, podem ter uma distância em relação a 2 maior que 10 - 5 :

a n = 2 + 1 n

Para essa sequência, enquanto n estiver entre n = 1 e n = 10 5 teremos a n - 2 ≥ 10 - 5 . Porém, do mesmo jeito, teremos uma convergência para 2 no fim das contas. Enfim, a recíproca da proposição, concluímos, também é falsa.

Resposta

a 1   F a l s a .

a 2   F a l s a .

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