Para quais valores de r a sequência n r n é convergente?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar os valores de r para os quais a sequência n r n é convergente.

Para isso, podemos analisar essa sequência como sendo o produto de duas sequências e verificar cada uma delas separadamente.

Primeiramente, a sequência n diverge sempre.

Por outro lado, a sequência r n diverge para r > 1 .

Dessa forma, se multiplicarmos essas duas sequências, então com toda certeza a sequência n r n diverge para r > 1 .

Agora nos resta analisar essa sequência para valores de r ≤ 1 .

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Primeiramente vamos ver para r = 1 .

Para isso, vamos aplicar no limite:

lim n → ∞ ⁡ n * 1 n = ∞

Logo, vemos que a série diverge para r = 1 .

Passo 3

Agora vamos ver para r < 1 .

Para isso, vamos aplicar no limite:

lim n → ∞ ⁡ n r - n

Aplicando L’Hôpital, temos:

lim n → ∞ ⁡ n ' r - n ' ∴

lim n → ∞ ⁡ 1 - log ⁡ r r - n ∴

lim n → ∞ ⁡ r n - log ⁡ r

Aplicando o limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ r n - log ⁡ r → 0 - ∞ → 0

Logo, vemos que a série converge para r < 1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge para r < 1

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