UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 23b
Para cada uma das funções abaixo, definidas no intervalo , obtenha sua série de Fourier e esboce seu gráfico no intervalo .
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função
para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier
e, substituí-los na expressão
Por último precisamos fazer o plot do gráfico desta série! Vamos começar calculando os coeficientes não-nulos! Vem comigo!
Passo 2
Temos a seguinte função
essa função é simplesmente no intervalo , e para . Portanto, essa é uma função de paridade par de forma que só precisamos calcular os coeficientes de cosseno e coeficiente constante, o primeiro é dado por
como temos que para e para , podemos escrever que
Essas integrais podem ser identificadas diretamente como
Portanto, o coeficiente constante é simplesmente
Vamos para os coeficientes de cosseno agora!
Passo 3
Os coeficientes de cosseno são obtidos calculando
Analogamente ao que dizemos anteriormente, podemos separar a expressão acima como
a primeira integral é bastante direta, resultando em
em que usei a paridade da função seno. Agora, as outras precisam ser integradas por partes, temos que
e
e
e
de forma que as integrais se tornam
em que a segunda integral é dada por
e, portanto, temos que
Avaliando os limites de integração temos que
em que usei a paridade do seno e do cosseno. A outra integral se torna
O coeficiente tem então a seguinte forma
simplificando alguns termos
Vamos escrever a nossa série de Fourier agora!
Passo 4
Nossa série pode ser escrita como
o gráfico pode ser obtido como
Mas note que ele deve ser colocado sobre o eixo devido ao termo somando. O comportamento se repete por toda a extensão do intervalo pedido! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!